はじめに：最大・最小は「条件・目的・制約」を整理する
公務員試験の数的推理では、条件の中で最大値・最小値を考える「最大・最小問題」があります。 一見すると計算問題に見えますが、まず何が一定か、何を最大・最小にするか、変数にどんな制約があるかを分けて読むことが重要です。
「どうすれば一番大きく（または小さく）なるか？」という問題は、 ただの計算ではなく、条件の中での“最適化”を見抜くことがカギ。 条件の読み替え方が分からないと、計算以前の段階で迷いやすいテーマです。
2つの数の和が12のとき、積が最大になるのはどんなとき？
👉 2つの数を正の実数とするなら、「2つの数が等しいとき」に積が最大になります。 ただし、整数・自然数など変数の範囲が指定されている場合は、その制約も含めて確認します。対称性は手がかりの一つであり、すべての最大・最小問題にそのまま適用できるわけではありません。
最大・最小問題で意識したい3つのポイント
- ① 条件を整理する： 何が一定で、何を最大・最小にするのか確認する
- ② 使える性質を見分ける： 和が一定の積、絶対距離の合計など、条件に合う考え方を選ぶ
- ③ 式や図で検証する： 性質を当てはめるだけでなく、問題の制約を満たすか確認する
本記事では、これらの力をバランスよく身につけるために、 代表的な考え方として、和が一定のときの積・数直線上の距離・面積などを中心に整理します。 あわせて、問題演習と復習を組み合わせて理解を定着させる方法も紹介します。
基礎理解：最大・最小で確認したい3つの考え方
最大・最小問題を解くためには、公式や特殊技法よりも、「どの視点で考えるか」が重要です。 ここでは、最大・最小を考えるときに役立つ代表的な視点を３つ確認します。
① 和が一定の2数の積：等しい場合を検討する
2つの実数の和が一定で、その積を最大にする問題では、2数が等しいときに最大になります。 これは a＋b を一定として積 ab を考えると確認できます。対象が3数以上の場合や、別の量を最適化する場合は条件に応じて考え方が変わります。
2つの数の和が10のとき、積が最大になるのは？
→ 2つの数を正の実数とすれば、5と5のとき（＝等しいとき）に最大。
考え方：
a＋b＝10 とおくと、積は a(10−a)＝−(a−5)²＋25。したがって a＝5、b＝5 のとき最大になります。 「平均だから最大」と丸暗記せず、和が一定の2数の積という適用条件まで確認しましょう。
② 数直線上の絶対距離の合計：中央値を検討する
数直線上の複数点から、ある1点までの絶対距離の合計を最小にする問題では、中央値が重要です。 「距離」や「差」という言葉だけで判断せず、目的が絶対距離の合計を最小化することか確認しましょう。
数直線上のA地点、B地点、C地点から、ある1点までの絶対距離の合計を最小にする点はどこ？ → 3点の場合は中央の点（中央値）で合計距離が最小になります。点が偶数個の場合は、中央2点の間に最小となる点が複数存在する場合があります。
③ 積を使う：かけ合わせの最適化
「掛け算で最大になる条件」を見抜くのが積の発想です。 たとえば、和が一定という条件のもとで長方形の面積を最大にする問題では、2辺の積を考えます。掛け算が出てきても条件によって解法は異なるため、「積なら必ず等しくする」と機械的に判断しないことが大切です。
周の長さが20の長方形の面積を最大にするには？ → 縦5・横5の正方形のときに面積最大。周が20なら 2(a＋b)=20、つまり a＋b=10 だからです。
理由： この例では、周が一定なので a＋b が一定となり、面積 ab は a＝b のとき最大になります。 対称性だけを根拠にせず、制約条件と目的関数を確認してから結論を出すことが重要です。
- 和が一定の2数の積 → 2数が等しいときに最大
- 数直線上の絶対距離の合計 → 中央値を検討
- 周が一定の長方形の面積 → 2辺の和を一定として積を考える
ここまでの考え方を踏まえ、次は代表的な例題で、問題の条件に応じてどの考え方を使うか確認します。
数的推理全体の公式や他の分野も確認したい人は、数的推理の公式一覧・解き方・コツもあわせて確認してください。
代表例で理解する：最大・最小の考え方
最大・最小問題にはさまざまな出題がありますが、まずは和が一定のときの積、距離の合計、面積など代表的な考え方を押さえると整理しやすくなります。 本記事では最大・最小に直接関係する条件整理に集中します。仕事算など別の論点は、関連単元として分けて学習してください。
① 2数の和が一定で積を最大にする問題
2つの正の数の和が一定という条件では、2数が等しいときに積が最大になります。 代表例は「2数の和が一定のときの積最大」や「周が一定の長方形の面積最大」などです。
② 数直線上の距離合計（中央値を使う）
数直線上に複数の点があり、ある1点までの絶対距離の合計を最小にする問題では、中央値が重要になります。 平均値と中央値は役割が違うため、混同しないようにしましょう。
数直線上の1、7、10の3点から、ある点xまでの距離の合計 |x−1|＋|x−7|＋|x−10| を最小にするxは？ → 中央値の7です。
③ 周が一定の長方形｜面積を最大にする問題
積の最大値を考えるときは、まず何が一定なのかを確認します。たとえば2つの正の数の和が一定なら、その2数が等しいときに積が最大になります。長方形の周が一定という条件も、この形に直して考えられます。
周の長さが20の長方形の面積が最大になる条件は？ → 正方形（5×5）のとき。周が20なら a＋b＝10 なので、a＝b＝5 で面積25が最大になります。 これは、和が一定の2つの正の数では、等しいときに積が最大になるという考え方です。
- 2つの正の数の和が一定で積を最大化 → 2数が等しい場合を検討
- 数直線上の絶対距離の合計を最小化 → 中央値を検討
- 周が一定の長方形の面積 → 2辺の和を一定として積を考える
次の章では、ここまでの考え方を基本例題で確認します。 「何が一定か」「何を最大・最小にするか」「どの性質を使えるか」を順番に確認し、条件に合う解法を選ぶ練習をしましょう。
例題で学ぶ：ステップ式で考える最大・最小
ここからは基本例題を通して、「条件をどう式や図へ置き換えるか」を確認します。 解法を機械的に当てはめるのではなく、適用条件を確認しながら進めましょう。
例題①：2数の和が一定のときの積最大
2つの数の和が12のとき、積が最大になるのはどの組み合わせか。
ステップ解説：
① 「2数の和が一定」「積を最大にする」という条件を確認。
② 2つの数を a, b とすると a＋b＝12。
③ 積 a×b＝a(12−a)＝−a²＋12a（最大値は軸で求める）。
例題②：数直線上の距離の合計が最小
A地点（1m）、B地点（7m）、C地点（10m）に3人がいる。3人が1箇所に集まるとき、 全員の移動距離の合計が最小となる位置はどこか。
ステップ解説：
① 3点から数直線上の1点までの距離の合計を最小にする問題と判断。
② このときの最小値は中央値の位置になる。
③ 位置を並べると 1, 7, 10 → 中央は7。
答え： 7mの位置で合計距離が最小。
例題③：積最大型（長方形の面積最大）
周の長さが24cmの長方形があります。 このとき面積が最大となる形はどれか。
ステップ解説：
① 周＝2(a＋b)＝24 → a＋b＝12。
② 面積＝a×b＝a(12−a)＝−a²＋12a。
③ 最大値は a＝6, b＝6 のとき。
- 2数の和が一定で積を最大化 → 等しい2数を検討する
- 数直線上の絶対距離の合計を最小化 → 中央値を検討する
- 周が一定の長方形の面積 → 正方形で最大になることを式で確認する
ここまでで、代表的な条件をどのように式や数直線へ置き換えるか確認できました。 次は、よくあるミスパターンと、条件の取り違えや不要な計算を減らすための確認方法を見ていきましょう。
ミスしやすい思考パターンと対策
最大・最小問題では、計算だけでなく、 “条件を正しく読み取る”ことが重要です。 試験中に焦ってしまうと、思考の型を忘れがちなので注意しましょう。
① 「和が一定」の条件と、最大化する対象を取り違える
「2つの数の和が12」と書いてあるのに、「どちらかを適当に決めて」計算してしまう。
🔍 対策：
「和が一定」という条件だけで解法を決めず、積を最大にするのか、差・平方和など別の量を求めるのかまで確認する。 和が一定の2数の積を最大にする問題なら、2数を等しくする性質を使えるか検討します。
② 「中央値」を忘れて距離問題で混乱する
A・B・Cの3点の距離を最小化する問題で、平均値を使ってしまう。
🔍 対策：
数直線上の複数点から1点までの絶対距離の合計 → 「中央値」を検討
2つの正の数の和が一定で積を最大化 → 「2数を等しくする」性質を検討
単語だけではなく、式と条件で判断することが大切です。
③ 式にこだわりすぎて時間をロスする
「a×bの最大値を求める」と言われて、いちいち展開して軸を求める。
🔍 対策：
条件が典型形なら、性質を使って計算を短くできることがあります。 ただし「和一定 → a＝b」は積を最大にする場合など、使える条件が決まっています。 公式だけを暗記せず、“どの条件で使えるか”までセットで確認しましょう。
④ 単位・条件の見落とし
面積の単位が cm² なのに、答えをそのまま数値で書いて減点。
🔍 対策：
計算前に「単位」「条件」「制約（整数・小数）」をメモ欄に書き出す。 計算よりも条件整理のクセづけを優先。
⑤ 見た目の「バランス」だけで最大・最小を決めない
長方形の辺の比を2：8にすると、見た目は「細長い」けど面積は？ → バランスが崩れると面積は小さくなる。 この例では、周が一定という条件のもとで2辺が等しいとき面積が最大になります。
- □ 「和が一定」→ 何を最大・最小にするのか確認する
- □ 「数直線上の絶対距離の合計」→ 中央値を検討する
- □ 「周が一定の長方形の面積」→ 2辺の和と積の関係を使う
条件整理と計算を効率化するコツ
最大・最小問題では、速さだけを優先すると適用条件を取り違えることがあります。 まず「何が一定か → 何を最大・最小にするか → 使える性質は何か」を確認し、そのうえで不要な計算を減らしましょう。
① まず「何が一定か」と「何を最適化するか」を確認する
「2数の和が一定で積を最大」なら等しい2数を検討し、「数直線上の絶対距離の合計を最小」なら中央値を検討します。 キーワードだけで型を決めず、変数の範囲や追加条件まで確認しましょう。
② 2数の和が一定で積を最大にするなら等しい値を検討する
2つの正の数の和が一定で、その積を最大にする問題では、2数が等しい場合を検討します。 たとえば「2数の和が24のとき積を最大にする」なら、12と12が最大となる組み合わせです。
2数が等しい場合を検討する条件と、中央値を使う条件は区別しましょう。 「等しいと最大になる」という性質は、和が一定の2数の積など適用条件を満たす場合に限って使います。
③ 対称性は「条件が対称な問題」の検算に使う
和が一定の2数の積や、周が一定の長方形の面積など、対称性を利用できる典型問題があります。 ただし、すべての最大・最小問題で a＝b になるわけではありません。問題の条件が左右対称かを確認してから使いましょう。
たとえば「周が一定の長方形→正方形で面積最大」のように、条件が対称な典型問題では対称性が手がかりになります。一方、距離問題や効率の問題は条件によって結論が変わるため、別々に考えます。
④ 図で整理して“見える化”する
数直線や表を使うと、平均・差・配分が一目でわかります。 頭の中だけで式を追うと条件を見落としやすい場合は、 数直線・表・簡単な図に書き出して関係を確認しましょう。
- 数直線上の絶対距離の合計 → 点を線上に配置して中央値を確認する
- 和が一定の2数の積 → 2数が等しい場合を検討する
- その他の問題 → 制約を図・表・式にして、使える性質を個別に判断する
⑤ 選択肢は「条件を満たすか」の検算に使う
選択式の問題では、選択肢を代入して条件を満たすか確認できる場合があります。 ただし、真ん中の選択肢から試せばよいという一般則はありません。式や条件から候補を絞ったうえで、検算として選択肢を使いましょう。
「どの値なら条件式が成立するか」「上限・下限を超えていないか」を確認するために代入する。 選択肢の並び順だけを根拠に最大・最小を判断しないことが大切です。
- ・最初に「何が一定か」「何を最大・最小にするか」を確認する
- ・使える性質が明確なら計算を短くする
- ・対称性は条件が対称な問題で利用する
- ・数直線や表で条件を可視化する
- ・選択肢は条件を満たすかの検算に使う
効率的な勉強法：考え方の理解＋解き直しで定着
最大・最小問題では、適用条件の理解 × 問題演習 × 解き直しを組み合わせることが重要です。 ここでは、解法を自力で再現できるようにするための勉強サイクルを紹介します。
① 「理解→自力で解く→解き直す」を繰り返す
数的推理は、解説を読んだだけで終わらせず、同じ考え方を自力で再現できるか確認することが重要です。問題数を固定するより、理解度に合わせて復習しましょう。
1️⃣ 例題で条件整理と解法を理解する
2️⃣ 類題を解き、同じ考え方を自力で使えるか確認する
3️⃣ 間違えた問題は原因を確認する
4️⃣ 数日後に解き直し、手順を再現できるか確認する
② 通信講座を使う場合は復習方法まで確認する
通信講座を検討する場合は、講義のわかりやすさだけでなく、問題演習と解き直しを続けやすいかも確認しましょう。 スタディングを候補にする場合も、現在提供されている復習機能・対象科目・教材構成を公式ページで確認し、無料で試せる範囲があれば実際に使ってから判断するのが安全です。
- ・志望する試験区分と数的推理が講座の対象になっているか
- ・講義だけでなく問題演習と解き直しまで続けやすいか
- ・復習を管理する機能や学習状況を確認する機能が自分に必要か
- ・料金、受講期間、利用できる端末などの条件が合っているか
※サービス内容や料金は変更される場合があります。申込み前に公式ページの最新情報を確認してください。
③ 「理解 → 定着 → 実戦」サイクルを回す
最大・最小では、性質を知っているだけでなく、 その性質を使える条件を問題文から判断する必要があります。 以下の流れで、基礎理解から志望先の過去問へ進みましょう。
① 理解（例題や講義で適用条件を確認する）
② 定着（類題を解き、間違えた問題を解き直す）
③ 実戦（志望先の過去問で出題形式を確認する）
→ 1テーマごとに「理解→演習→解き直し」を繰り返しましょう。
- 理解：何が一定で、何を最大・最小にするのか整理する
- 定着：類題と解き直しで適用条件を確認する
- 実戦：志望先の過去問で必要な出題形式に慣れる
スタディングを使う場合の学習の進め方
最大・最小問題は、解法を眺めるだけでなく、自分で条件を整理して解き直すことが大切です。 オンライン講座を利用する場合は、講義→問題演習→復習の流れを作れるかを確認して選びましょう。スタディングを候補にする場合も、申込み前に公式ページで現在の講座内容・対象試験・料金・学習機能を確認してください。
① 無料で確認できる範囲を実際に試す
通信講座は、機能名の多さよりも自分が継続して使えるかが重要です。無料講座や教材見本など、申込み前に確認できる範囲があれば、講義の説明が理解しやすいか、問題演習へ移りやすいかを実際に確認しましょう。
- ・志望先の試験区分が対象か
- ・数的推理の講義と問題演習の構成が自分に合うか
- ・復習を続けやすい仕組みがあるか
- ・料金と受講期間を無理なく許容できるか
② 講義のあとに必ず自分で問題を解く
動画講義を視聴したら、そのまま理解したつもりで終えず、問題演習へ進みましょう。 最大・最小では、「何が一定か」「何を最大・最小にするか」「どの性質が使えるか」を自分の言葉で説明できるか確認します。
・和が一定の2数の積なら、等しいときに最大になる条件を説明できるか
・数直線上の絶対距離の合計なら、中央値を使う理由を説明できるか
→ 解答を覚えるのではなく、条件から解法を選べる状態を目指します。
③ 復習機能は「解き直しを続ける補助」として使う
講座に復習管理の機能がある場合は、復習する問題を選ぶ負担を減らす補助として使えます。 ただし、機能に任せるだけではなく、間違えた問題について条件の読み違い・性質の選択・計算のどこで誤ったかを自分で確認しましょう。
④ 学習状況を定期的に振り返る
学習状況を確認できる機能がある場合は、進捗の振り返りに利用できます。 ただし、機能があるだけで学習が継続できるとは限りません。週ごとに進捗を確認し、予定どおり進まない場合は学習量や計画を調整しましょう。
- ・講義の説明が自分にとって理解しやすいか
- ・問題演習と解き直しまで続けやすいか
- ・復習や進捗管理の機能を実際に使いそうか
- ・独学と比べて費用を払う価値を感じるか
講座を選ぶときは、機能の多さだけでなく、自分が実際に使い続けられるかを確認することが大切です。 スタディングを候補にする場合は、申込み前に公式ページで現在の無料で確認できる範囲を確認し、利用できる場合は講義や学習システムの操作感を試してから判断するとよいでしょう。
まとめと次の学習ステップ
今回は、数的推理「最大・最小」の問題をテーマに、 条件整理、代表的な考え方、例題、ミス対策、勉強法まで順番に解説しました。 難しそうに見える分野ですが、条件を整理し、使える性質を見分ける練習を重ねることで対応しやすくなります。
✅ 本記事の要点まとめ
- ・最初に「何が一定か」「何を最大・最小にするか」を確認する
- ・和が一定の2数の積では、等しいときに最大になる性質を使える
- ・数直線上の絶対距離の合計では、中央値が重要になる
- ・選択肢は並び順ではなく、条件を満たすかの検算に使う
- ・復習ツールを使う場合も、間違えた原因を自分で確認する
💪 次の学習ステップ
最大・最小の基本例題で条件整理を確認したら、数的推理の他分野も志望先の出題傾向に合わせて進めましょう。 「比・割合」や「濃度」では使う関係式が異なるため、それぞれの条件と解法を分けて理解することが大切です。
- ① 最大・最小 → 条件・目的・制約を整理して使える性質を確認する
- ② 比・割合 → 基準量と比較量の関係を整理する
- ③ 濃度・損益 → 割合の基準や操作前後の変化を確認する
❓ 最大・最小のよくある質問
Q. 「和が一定」なら、いつでも2数を等しくすれば最大になりますか？
A. いいえ。2つの正の数の和が一定で、その積を最大にする場合などに使える性質です。何を最大・最小にするのか、変数の範囲は何かまで確認してください。
Q. 距離の問題は平均値と中央値のどちらを使いますか？
A. 数直線上の複数点から1点までの絶対距離の合計を最小にする場合は中央値を検討します。平均値が現れる条件とは異なるため、目的となる量を式で確認しましょう。
Q. 最大・最小は公式だけ覚えれば解けますか？
A. 公式だけでなく、「何が一定か」「何を最適化するか」「変数にどんな制約があるか」を確認することが重要です。基本例題を自力で解いたあと、志望先の過去問で出題形式を確認しましょう。
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数的推理は、解法だけでなく「その解法を使える条件」まで理解することが大切です。 学習サービスを使う場合も、講義を見るだけで終わらず、自力で解き直せるかを確認してください。スタディングが気になる場合は、まず無料体験で教材や学習システムが自分に合うか確認するとよいでしょう。
